与えられた関数 $y_2 = \frac{1}{(\cos^{-1} x + 4)^2}$ に対して、その一階導関数 $y_1 = \frac{dy_2}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y_2 = \frac{1}{(\cos^{-1} x + 4)^2}$ に対して、その一階導関数 $y_1 = \frac{dy_2}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y_2$ を $x$ で微分します。合成関数の微分法（チェーンルール）を用います。

$y_2 = (\cos^{-1} x + 4)^{-2}$

$\frac{dy_2}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos^{-1} x + 4)^{-2}$

チェーンルールを適用します。まず、外側の関数 $u^{-2}$ を $u$ で微分し、次に内側の関数 $u = \cos^{-1} x + 4$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{du} (u^{-2}) = -2u^{-3}$

$\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x + 4) = \frac{d}{dx} (\cos^{-1} x) + \frac{d}{dx} (4) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 0 = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy_2}{dx} = -2(\cos^{-1} x + 4)^{-3} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$

整理すると、

$\frac{dy_2}{dx} = \frac{2}{(\cos^{-1} x + 4)^3 \sqrt{1-x^2}}$

よって、$y_1$は

$y_1 = \frac{dy_2}{dx} = \frac{2}{(\cos^{-1} x + 4)^3 \sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy_2}{dx} = \frac{2}{(\cos^{-1} x + 4)^3 \sqrt{1-x^2}}$