与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ (2) $y = (\sqrt{x}-1) \cos^{-1} x$ (3) $y = \sin^{-1} x \cos^{-1} x$ (4) $y = \sin^{-1} x \tan^{-1} x$

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、(1) $y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$、(2) $y = (\sqrt{x}-1) \cos^{-1} x$、(3) $y = \sin^{-1} x \cos^{-1} x$、(4) $y = \sin^{-1} x \tan^{-1} x$の4つの問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$

(2) $y = (\sqrt{x}-1) \cos^{-1} x$

(3) $y = \sin^{-1} x \cos^{-1} x$

(4) $y = \sin^{-1} x \tan^{-1} x$

2. 解き方の手順

各問題について、微分公式を適用し、計算します。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx} \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$

(1) $y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

(2) $y = (\sqrt{x}-1) \cos^{-1} x$

$y' = (\sqrt{x}-1)' \cos^{-1} x + (\sqrt{x}-1) (\cos^{-1} x)'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos^{-1} x + (\sqrt{x}-1) (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$

$y' = \frac{\cos^{-1} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y = \sin^{-1} x \cos^{-1} x$

$y' = (\sin^{-1} x)' \cos^{-1} x + \sin^{-1} x (\cos^{-1} x)'$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cos^{-1} x + \sin^{-1} x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$

$y' = \frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{\cos^{-1} x - \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$

(4) $y = \sin^{-1} x \tan^{-1} x$

$y' = (\sin^{-1} x)' \tan^{-1} x + \sin^{-1} x (\tan^{-1} x)'$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \tan^{-1} x + \sin^{-1} x (\frac{1}{1+x^2})$

$y' = \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1} x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 0$

(2) $y' = \frac{\cos^{-1} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y' = \frac{\cos^{-1} x - \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$

(4) $y' = \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1} x}{1+x^2}$