与えられたベルヌーイ数の定義式 $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ を用いて、以下の3つの問いに答えます。 (1) $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ を求めます。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項（$x^3$ の項）まで求めます。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めます。

1. 問題の内容

与えられたベルヌーイ数の定義式

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

を用いて、以下の3つの問いに答えます。

(1) $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ を求めます。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項（$x^3$ の項）まで求めます。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ のマクローリン展開を利用して $\frac{x}{e^x - 1}$ を展開し、$B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots}$

$\frac{x}{e^x - 1} = B_0 + \frac{B_1}{1!} x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \dots$

$\frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots} = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots$

両辺に $1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots$ をかけます。

$1 = (B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots)$

$1 = B_0 + (B_1 + \frac{B_0}{2})x + (\frac{B_2}{2} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_0}{6})x^2 + (\frac{B_3}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_0}{24})x^3 + \dots$

係数を比較して、$B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$ を得ます。

(2) (1)の結果を用いると、

$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + 0x^3 + \dots = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ を計算します。

$m=1$ のとき、$\sum_{n=0}^{0} {}_1C_n B_n = {}_1C_0 B_0 = 1 \cdot 1 = 1$

$m=2$ のとき、$\sum_{n=0}^{1} {}_2C_n B_n = {}_2C_0 B_0 + {}_2C_1 B_1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

$m=3$ のとき、$\sum_{n=0}^{2} {}_3C_n B_n = {}_3C_0 B_0 + {}_3C_1 B_1 + {}_3C_2 B_2 = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot (\frac{1}{6}) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 0$

$m=4$ のとき、$\sum_{n=0}^{3} {}_4C_n B_n = {}_4C_0 B_0 + {}_4C_1 B_1 + {}_4C_2 B_2 + {}_4C_3 B_3 = 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 \cdot (\frac{1}{6}) + 4 \cdot 0 = 1 - 2 + 1 = 0$

$e^x - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ と $\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n x^n}{n!}$ をかけ合わせると、$x$ になります。つまり、

$x = (e^x-1)\frac{x}{e^x-1} = (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n x^n}{n!})$

この式の $x^m$ の係数を比較します。ただし$m \geq 2$の場合、左辺の$x^m$の係数は$0$になることに注意すると、

$\sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{(m-n)!} \frac{B_n}{n!} = 0$

したがって、

$\sum_{n=0}^{m-1} \frac{m!}{(m-n)! n!} B_n = \sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$ ($m \geq 2$)

m=1の時は、

$\sum_{n=0}^{0} {}_1C_n B_n = B_0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = \begin{cases} 1 & (m=1) \\ 0 & (m \geq 2) \end{cases}$