与えられた関数 $\frac{x}{e^x-1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。 (2) $\frac{x}{e^x-1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \ge 1$) を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{x}{e^x-1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。

(2) $\frac{x}{e^x-1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \ge 1$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ のマクローリン展開は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$ です。

したがって、

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots}$

ここで、$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \dots$ と表せるので、

$(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots)(B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots) = 1$

となるように $B_0, B_1, B_2, B_3$ を決定します。

$x^0$ の項: $B_0 = 1$

$x^1$ の項: $B_1 + \frac{B_0}{2} = 0 \Rightarrow B_1 = -\frac{1}{2}$

$x^2$ の項: $\frac{B_2}{2} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_0}{6} = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} = \frac{1}{12} \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}$

$x^3$ の項: $\frac{B_3}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_0}{24} = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} = 0 \Rightarrow B_3 = 0$

(2) (1)の結果から $\frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + 0 x^3 + \dots = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $e^x - 1 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$. よって、$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = (\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!})(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n)$.

係数を比較すると、

$x^m$ の係数は $\frac{1}{m!}$ なので、$\sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{(m-n)!} \frac{B_n}{n!} = 0$ ($m \ge 2$)。

$\sum_{n=0}^{m-1} \frac{m!}{(m-n)! n!} B_n = 0$ ($m \ge 2$) なので、$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$ ($m \ge 2$)。

$m=1$ のとき、$\sum_{n=0}^{0} {}_1 C_n B_n = {}_1 C_0 B_0 = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = \begin{cases} 1 & (m=1) \\ 0 & (m \ge 2) \end{cases}$