以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)^{\frac{1}{\log x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)^{\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $L$ とおきます。

$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)^{\frac{1}{\log x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} \log \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)$

ここで、$\arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}$ であるから、$\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arctan(\frac{1}{x})$ となります。

したがって、

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{\log \left( \arctan(\frac{1}{x}) \right)}{\log x}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ であるから、$\arctan(\frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$ と近似できます。したがって、

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{\log \left( \frac{1}{x} \right)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\log x}{\log x} = -1$

したがって、$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$