与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項($x^3$の項)まで示す。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項($x^3$の項)まで示す。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

2. 解き方の手順

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ より、

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

したがって、

$x = (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots) (B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots)$

両辺の係数を比較します。

$x^0$: $0 = 0$ (自明)

$x^1$: $1 = B_0$

$x^2$: $0 = \frac{B_0}{2} + B_1 = \frac{1}{2} + B_1 \Rightarrow B_1 = -\frac{1}{2}$

$x^3$: $0 = \frac{B_0}{6} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_2}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{B_2}{2} \Rightarrow \frac{B_2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}$

$x^4$: $0 = \frac{B_0}{24} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_3}{6} = \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{B_3}{6} \Rightarrow \frac{B_3}{6} = 0 \Rightarrow B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項($x^3$の項)まで示す。

$\frac{x}{e^x - 1} = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \dots = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} \frac{x^2}{2} + 0 \cdot \frac{x^3}{6} + \dots = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} x^2 + 0 x^3 + \dots$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ より、

$x e^x = e^x (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!})(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n) = x$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n$

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = \sum_{n=0}^{m-1} \frac{m!}{n!(m-n)!} B_n$

$e^x - 1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n x^n}{n!}$

$x = (e^x-1) \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n x^n}{n!} = (\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}) (\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n x^n}{n!})$

$e^x (\sum_{n=0}^{m-1} \frac{B_n x^n}{n!}) = x$

$\sum_{n=0}^{m-1} {m \choose n} B_n = 0$ if $m>1$ and equal to $1$ if $m=1$

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} x^2 + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = \begin{cases} 1 & (m=1) \\ 0 & (m>1) \end{cases}$