関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ (ただし、$x > 0$) について、以下の問いに答えます。 (1) $\lim_{x \to 0+} f(x)$ を求めます。 (2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めます。 (3) 導関数 $f'(x)$ を求めます。 (4) $f(x)$ の極大値（最大値でもある）を求め、$f(x)$ のグラフの概形を描きます（増減表を利用）。 (5) $1 < e < \pi$ が既知であるとき、(4) の最大値を利用して、$\pi^e$ と $e^\pi$ の大小を判定します。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ (ただし、$x > 0$) について、以下の問いに答えます。

(1) $\lim_{x \to 0+} f(x)$ を求めます。

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めます。

(3) 導関数 $f'(x)$ を求めます。

(4) $f(x)$ の極大値（最大値でもある）を求め、$f(x)$ のグラフの概形を描きます（増減表を利用）。

(5) $1 < e < \pi$ が既知であるとき、(4) の最大値を利用して、$\pi^e$ と $e^\pi$ の大小を判定します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x}$ を求めます。$x \to 0+$ のとき、$\ln x \to -\infty$ であり、$x \to 0+$ であるから、

$\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ を求めます。これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

(3) $f'(x)$ を求めます。$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ なので、商の微分法を用いると、

$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(4) $f(x)$ の極大値を求めます。$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0$ より、$1 - \ln x = 0$ なので、$\ln x = 1$ となり、$x = e$ です。

$x = e$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < e$ のとき、$\ln x < 1$ なので、$f'(x) > 0$

- $x > e$ のとき、$\ln x > 1$ なので、$f'(x) < 0$

したがって、$x = e$ で極大値（かつ最大値）をとります。その値は、

$f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$

グラフの概形は、$x \to 0+$ で $-\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で 0 に収束し、$x = e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとるようなグラフになります。増減表は以下のようになります。

| x | 0+ | ... | e | ... | ∞ |

| :----- | :----- | :---- | :--- | :----- | :----- |

| f'(x) | | + | 0 | - | |

| f(x) | -∞ | ↑ | 1/e | ↓ | 0 |

(5) $\pi^e$ と $e^\pi$ の大小を判定します。$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ を考えます。$e < \pi$ より、$f(e) = \frac{1}{e}$ と $f(\pi) = \frac{\ln \pi}{\pi}$ を比較します。

$f(e) > f(\pi)$ より、$\frac{1}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi}$

両辺に $e\pi$ をかけると、$\pi > e \ln \pi = \ln \pi^e$

したがって、$e^\pi > \pi^e$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0+} f(x) = -\infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

(3) $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(4) 極大値（最大値）は $f(e) = \frac{1}{e}$

(5) $e^\pi > \pi^e$