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与えられた逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ (4) $\sec^{-1}(\sqrt{2})$ (5) $\csc^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})$ (6) $\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

解析学逆三角関数三角関数値域
2025/5/22
はい、承知いたしました。逆三角関数の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の値を求める問題です。
(1) sin⁡−1(−12)\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})
(2) cos⁡−1(−12)\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})
(3) tan⁡−1(13)\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})
(4) sec⁡−1(2)\sec^{-1}(\sqrt{2})
(5) csc⁡−1(23)\csc^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})
(6) cot⁡−1(13)\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})

2. 解き方の手順

逆三角関数の定義に基づいて考えます。
(1) sin⁡−1(−12)\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})
sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta を求めます。sin⁡θ\sin \theta の値域は [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] です。
θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4}
(2) cos⁡−1(−12)\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})
cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta を求めます。cos⁡θ\cos \theta の値域は [0,π][0, \pi] です。
θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4}
(3) tan⁡−1(13)\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta を求めます。tan⁡θ\tan \theta の値域は (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) です。
θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}
(4) sec⁡−1(2)\sec^{-1}(\sqrt{2})
sec⁡θ=2\sec \theta = \sqrt{2} となる θ\theta を求めます。 sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} なので、cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} となります。sec⁡θ\sec \theta の値域は [0,π2)∪(π2,π][0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi] です。
θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
(5) csc⁡−1(23)\csc^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})
csc⁡θ=23\csc \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} となる θ\theta を求めます。csc⁡θ=1sin⁡θ\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} なので、sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} となります。csc⁡θ\csc \theta の値域は [−π2,0)∪(0,π2][-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}] です。
θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}
(6) cot⁡−1(13)\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})
cot⁡θ=13\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta を求めます。cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} なので、tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3} となります。cot⁡θ\cot \theta の値域は (0,π)(0, \pi) です。
θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡−1(−12)=−π4\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}
(2) cos⁡−1(−12)=3π4\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4}
(3) tan⁡−1(13)=π6\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}
(4) sec⁡−1(2)=π4\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}
(5) csc⁡−1(23)=π3\csc^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}
(6) cot⁡−1(13)=π3\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}

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