関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$) について、以下の問いに答える。 (1) 極限 $\lim_{x \to 0+} f(x)$ を求める。 (2) 極限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。 (3) 導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$) について、以下の問いに答える。

(1) 極限 $\lim_{x \to 0+} f(x)$ を求める。

(2) 極限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。

(3) 導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極限 $\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x}$ を求める。

$x$ が $0$ に近づくとき、$\ln x$ は $-\infty$ に近づき、$x$ は $0$ に近づくので、これは $\frac{-\infty}{0}$ の形になる。$x > 0$ より、$x$ は正の方向から $0$ に近づくため、$\frac{1}{x}$ は $+\infty$ に発散する。よって、$\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$となる。

(2) 極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ を求める。

$x \to \infty$ のとき、$\ln x \to \infty$ であり、$x \to \infty$ であるから、この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である。よって、ロピタルの定理を用いる。

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

(3) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ を微分する。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = \ln x$, $v = x$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$

したがって、

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0+} f(x) = -\infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

(3) $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$