与えられた無限等比級数について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその和を求めます。 (1) 初項が2、公比が0.5の無限等比級数 (2) 初項が1、公比が$-\sqrt{2}$の無限等比級数 (3) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots$ という無限等比級数

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその和を求めます。

(1) 初項が2、公比が0.5の無限等比級数

(2) 初項が1、公比が$-\sqrt{2}$の無限等比級数

(3) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots$ という無限等比級数

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \dots$ は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たす場合に収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。そうでない場合は発散します。

(1) 初項 $a = 2$, 公比 $r = 0.5 = \frac{1}{2}$ です。 $|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので収束します。和 $S$ は

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

(2) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -\sqrt{2}$ です。 $|r| = \sqrt{2} > 1$ なので発散します。

(3) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -\frac{1}{2}$ です。 $|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので収束します。和 $S$ は

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、その和は4です。

(2) 発散します。

(3) 収束し、その和は$\frac{2}{3}$です。