与えられた逆三角関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1}4x$ (2) $y = \cos^{-1}\frac{x}{5}$ (3) $y = \tan^{-1}3x$ (4) $y = \tan^{-1}\frac{2}{3}x$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1}4x$

(2) $y = \cos^{-1}\frac{x}{5}$

(3) $y = \tan^{-1}3x$

(4) $y = \tan^{-1}\frac{2}{3}x$

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を使います。

* $\frac{d}{dx} \sin^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

* $\frac{d}{dx} \cos^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

* $\frac{d}{dx} \tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$

また、合成関数の微分公式を使います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

(1) $y = \sin^{-1}4x$ の場合

$u = 4x$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$.

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 4$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$.

(2) $y = \cos^{-1}\frac{x}{5}$ の場合

$u = \frac{x}{5}$ とおくと、$y = \cos^{-1}u$.

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{5}$

よって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{5})^2}} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{5\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}} = -\frac{1}{5\sqrt{\frac{25-x^2}{25}}} = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$.

(3) $y = \tan^{-1}3x$ の場合

$u = 3x$ とおくと、$y = \tan^{-1}u$.

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$.

(4) $y = \tan^{-1}\frac{2}{3}x$ の場合

$u = \frac{2}{3}x$ とおくと、$y = \tan^{-1}u$.

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{2}{3}x)^2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3(1+\frac{4}{9}x^2)} = \frac{2}{3+\frac{4}{3}x^2} = \frac{6}{9+4x^2}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{9+4x^2}$