$\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}}$, $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$, $\cos^2{\frac{5}{12}\pi}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}}$, $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$, $\cos^2{\frac{5}{12}\pi}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}}$の計算

2倍角の公式 $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$ を利用する。

$\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2}\sin{(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$の計算

半角の公式 $\sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1-\cos{\theta}}{2}$ を利用する。

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \sin^2{\frac{\pi/6}{2}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{6}}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

(3) $\cos^2{\frac{5}{12}\pi}$の計算

半角の公式 $\cos^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1+\cos{\theta}}{2}$ を利用する。

$\cos^2{\frac{5}{12}\pi} = \cos^2{\frac{5\pi/6}{2}} = \frac{1 + \cos{\frac{5\pi}{6}}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

$\cos^2{\frac{5}{12}\pi} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$