問題は、与えられた範囲 $0 \le x < 2\pi$ において、以下の2つの三角関数を含む方程式を満たす $x$ の値を求めることです。 (1) $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) = -1$ (2) $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$

1. 問題の内容

問題は、与えられた範囲 $0 \le x < 2\pi$ において、以下の2つの三角関数を含む方程式を満たす $x$ の値を求めることです。

(1) $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) = -1$

(2) $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) = -1$

$\cos \theta = -1$ となる $\theta$ は、$\theta = \pi + 2n\pi$ ($n$ は整数) である。

したがって、

$2x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2n\pi$

$2x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$

$x = \frac{7\pi}{12} + n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ であるから、$n=0, 1$ を代入すると、

$n=0$ のとき、$x = \frac{7\pi}{12}$

$n=1$ のとき、$x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}$

(2) $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin \theta = 1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数) である。

したがって、

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$2x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

$x = \frac{5\pi}{12} + n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ であるから、$n=0, 1$ を代入すると、

$n=0$ のとき、$x = \frac{5\pi}{12}$

$n=1$ のとき、$x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{7\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$

(2) $x = \frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$