関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ のグラフが与えられています。ただし、$a > 0$ かつ $0 < b < 2\pi$ です。グラフから、パラメータ $a, b$ の値と、図中の目盛り $A, B, C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ のグラフが与えられています。ただし、$a > 0$ かつ $0 < b < 2\pi$ です。グラフから、パラメータ $a, b$ の値と、図中の目盛り $A, B, C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のグラフの振幅と周期を読み取ります。グラフから、振幅は2、周期は $\pi$ であることがわかります。

次に、振幅から $A$ と $B$ の値を決定します。振幅が2なので、$A = 2$、$B = -2$ です。

周期は $2\pi/a$ で与えられます。周期が $\pi$ であることから、

$$$$

\frac{2\pi}{a} = \pi

$$$$

が成り立ちます。これを解くと $a = 2$ となります。

グラフは $y = 2\sin(2\theta - b)$ のグラフです。

$\theta = \pi/6$ のとき $y = 2\sin(2(\pi/6) - b) = 2\sin(\pi/3 - b) = 0$ です。

$\sin(\pi/3 - b) = 0$ より、$\pi/3 - b = n\pi$ (n は整数) となります。

したがって、$b = \pi/3 - n\pi$ です。$0 < b < 2\pi$ なので、

$n = 0$ のとき $b = \pi/3$

$n = -1$ のとき $b = \pi/3 + \pi = 4\pi/3$

$n = -2$ のとき $b = \pi/3 + 2\pi = 7\pi/3 > 2\pi$ なので不適です。

$\theta = \pi/3$ のとき、$y < 0$ なので、$y = 2\sin(2(\pi/3) - b) < 0$ となります。

$b = \pi/3$ のとき、$y = 2\sin(2(\pi/3) - \pi/3) = 2\sin(\pi/3) = 2(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3} > 0$ なので、$b = \pi/3$ は不適です。

したがって、$b = 4\pi/3$ となります。

このとき、$y = 2\sin(2\theta - 4\pi/3) = 2\sin(2(\theta - 2\pi/3))$.

$\theta = \pi/2$ のとき、$y = 2\sin(2(\pi/2) - 4\pi/3) = 2\sin(\pi - 4\pi/3) = 2\sin(-\pi/3) = 2(-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}$.

グラフから、$C$ は $y=0$ のときの $\theta$ の値を示しています。$2\sin(2\theta - 4\pi/3) = 0$ より、$2\theta - 4\pi/3 = n\pi$ (n は整数) です。

$\theta = 2\pi/3 + n\pi/2$.

$n=0$ のとき、$\theta = 2\pi/3$.

$n=1$ のとき、$\theta = 2\pi/3 + \pi/2 = 7\pi/6$.

$\theta = \pi/6$のとき、極小値をとっているので、$y = 2\sin(2(\pi/6) - b) = -2$

$\sin(\pi/3 - b) = -1$

$\pi/3 - b = -\pi/2 + 2n\pi$

$b = \pi/3 + \pi/2 - 2n\pi = 5\pi/6 - 2n\pi$

$n = 0$ のとき、$b = 5\pi/6$.

このとき、$y = 2\sin(2\theta - 5\pi/6)$

$\theta = \pi/3$のとき、$y = 2\sin(2\pi/3 - 5\pi/6) = 2\sin(-\pi/6) = -1$.

$\theta = \pi/2$のとき、$y = 2\sin(\pi - 5\pi/6) = 2\sin(\pi/6) = 1$.

$C$は、グラフが$y=0$となるときの$\theta$の値なので、$2\sin(2\theta - 5\pi/6) = 0$

$2\theta - 5\pi/6 = n\pi$

$\theta = 5\pi/12 + n\pi/2$

$n=1$ のとき $\theta = 5\pi/12 + 6\pi/12 = 11\pi/12$.

したがって、$C = 11\pi/12$.

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 5\pi/6$

$A = 2$

$B = -2$

$C = 11\pi/12$