与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = (4x + 3) \sin^{-1} x$ (2) $y = \cos^{-1} x \tan^{-1} x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = (4x + 3) \sin^{-1} x$

(2) $y = \cos^{-1} x \tan^{-1} x$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 4x + 3$, $v = \sin^{-1} x$ とすると、

$u' = 4$, $v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4 \sin^{-1} x + (4x + 3) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 4 \sin^{-1} x + \frac{4x + 3}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \cos^{-1} x$, $v = \tan^{-1} x$ とすると、

$u' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $v' = \frac{1}{1 + x^2}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tan^{-1} x + \cos^{-1} x \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\cos^{-1} x}{1 + x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4 \sin^{-1} x + \frac{4x + 3}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\cos^{-1} x}{1 + x^2}$