与えられた逆三角関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} 4x$ (2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$ (3) $y = \tan^{-1} 3x$ (4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1} 4x$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$

(3) $y = \tan^{-1} 3x$

(4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$

2. 解き方の手順

公式3.4と7.4を用いるとありますが、ここでは逆三角関数の微分公式を用いることになります。

(1) $y = \sin^{-1} 4x$の微分

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ です。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(4x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 16x^2}} \cdot 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$の微分

$\cos^{-1} x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ です。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{5})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{5}) = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{5\sqrt{\frac{25 - x^2}{25}}} = -\frac{1}{5\frac{\sqrt{25 - x^2}}{5}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{25 - x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1} 3x$の微分

$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1 + x^2}$ です。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \frac{1}{1 + 9x^2} \cdot 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + 9x^2}$

(4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$の微分

$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1 + x^2}$ です。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{2}{3}x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x) = \frac{1}{1 + \frac{4}{9}x^2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{\frac{9 + 4x^2}{9}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{9 + 4x^2} \cdot \frac{2}{3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6}{9 + 4x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{25 - x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + 9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{9 + 4x^2}$