この問題は、マクローリン展開に関する問題、関数の極限、ベルヌーイ数に関する問題から構成されています。具体的には、以下の内容が含まれています。 * cosxのマクローリン展開 * 関数の連続性と極限 * マクローリン展開（具体的な関数の展開） * ランダウの記号を用いた関数の近似 * ベルヌーイ数の計算と応用

1. 問題の内容

この問題は、マクローリン展開に関する問題、関数の極限、ベルヌーイ数に関する問題から構成されています。具体的には、以下の内容が含まれています。

* cosxのマクローリン展開

* 関数の連続性と極限

* マクローリン展開（具体的な関数の展開）

* ランダウの記号を用いた関数の近似

* ベルヌーイ数の計算と応用

2. 解き方の手順

(1) cosxのマクローリン展開

cosxのマクローリン展開は、

$cosx = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + R_{2n+2}$

ここで、$R_{2n+2} = \frac{f^{(2n+3)}(\theta x)}{(2n+3)!}x^{2n+3}$。$f(x)=cosx$より、$f^{(2n+3)}(x) = \pm sinx$または$\pm cosx$なので、$|f^{(2n+3)}(\theta x)| \leq 1$。したがって、$|R_{2n+2}| \leq \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}$

(2) 関数の連続性と極限

f''(0)≠0のとき、x->0でc-> 1/2

(3) f''(0)=0, f'''(0)≠0のとき、x->0でc-> $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(4) マクローリン展開

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2} = - \frac{1}{a^2} (1 - \frac{x^2}{a^2})^{-1} = - \frac{1}{a^2} (1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{a^4} + ...)$

(2) $arctan x = x - \frac{x^3}{3} + ...$

(3) $(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!} x^4 + o(x^4)$

(5) ランダウの記号を用いた関数の近似

(1) $x - sinx = x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + ...$

よって$\frac{x-sinx}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x^2)$

(2) $log \frac{1+x}{1-x} = log(1+x) - log(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...) = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + ...)$

よって、$log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x} = \frac{e^{\frac{1}{x}log(1+x)}-e}{x} = \frac{e^{\frac{1}{x}(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...)}-e}{x} = \frac{e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - ...} - e}{x} = \frac{e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - ...} - e}{x} = \frac{e(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{(-\frac{x}{2})^2}{2!} + ...)-e}{x} = \frac{e - \frac{ex}{2} + \frac{11ex^2}{24}+... - e}{x} = - \frac{e}{2} + o(1)$

(6) ベルヌーイ数

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$

* $B_0=1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3=0$

* $\frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + 0\cdot x^3 + o(x^3)$

* $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$

3. 最終的な答え

(1) cosx = $\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + R_{2n+2}$,　剰余項は$R_{2n+2} = \frac{f^{(2n+3)}(\theta x)}{(2n+3)!}x^{2n+3}$

(2) c-> 1/2

(3) c-> $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(4) $\frac{1}{x^2 - a^2} = - \frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6} + o(x^4)$ , $arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^4)$, $(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!} x^4 + o(x^4)$

(5) $\frac{x-sinx}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$, $log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + o(x^6)$, $\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x} = - \frac{e}{2} + o(1)$

(6) $B_0=1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3=0$, $\frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + o(x^3)$, $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$