与えられた関数 $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 11$ について以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の増減と極値を調べ、グラフの概形を描きます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と異なる2点で接する直線の方程式を求めます。 (3) 曲線 $y = f(x)$ と (2) で求めた直線で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 11$ について以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の増減と極値を調べ、グラフの概形を描きます。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と異なる2点で接する直線の方程式を求めます。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と (2) で求めた直線で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 増減と極値を求めるために、まず $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -4x^3 + 24x^2 - 36x = -4x(x^2 - 6x + 9) = -4x(x-3)^2$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 3$ のときです。増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | - |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | | 減少 |

$x = 0$ のとき、$f(0) = 11$

$x = 3$ のとき、$f(3) = -3^4 + 8*3^3 - 18*3^2 + 11 = -81 + 216 - 162 + 11 = -16$

したがって、$x = 0$ で極大値 $11$ をとります。$x = 3$ では極値をとりません。

グラフは $x=0$ で極大値 $11$ を持ち、$x=3$ の近くで少し平らになっているような形になります。

(2) 2点で接する直線の方程式を $y=ax+b$ とおきます。

$f(x) - (ax+b) = 0$ が重解を持つことになります。

$g(x) = f(x) - (ax+b) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 - ax + (11-b)$

このとき、$g(x) = -(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2$ とかけるはずです。ただし、$\alpha \neq \beta$

展開すると、$g(x) = -(x^4 - 2(\alpha + \beta)x^3 + (\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2)x^2 - 2\alpha\beta(\alpha+\beta)x + \alpha^2 \beta^2)$

係数を比較して、

$2(\alpha + \beta) = 8 \implies \alpha + \beta = 4$

$-(\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2) = -18 \implies \alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = 18$

$2\alpha\beta(\alpha + \beta) = a \implies 8\alpha\beta = a$

$-\alpha^2 \beta^2 = 11-b \implies \alpha^2 \beta^2 = b-11$

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = 16$

$\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = 18$ より、$2\alpha\beta = 2$ よって、$\alpha\beta = 1$

$\alpha + \beta = 4, \alpha\beta = 1$ より、$\alpha, \beta$ は $t^2 - 4t + 1 = 0$ の解。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$a = 8\alpha\beta = 8$

$b = \alpha^2 \beta^2 + 11 = 1^2 + 11 = 12$

したがって、接線の方程式は $y = 8x + 12$

(3) 求める面積は、$\int_{\alpha}^{\beta} (ax+b - f(x)) dx = \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} (-(x-(2-\sqrt{3}))^2 (x-(2+\sqrt{3}))^2)dx$

$x - 2 = t$ とおくと、$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (-(t+\sqrt{3})^2(t-\sqrt{3})^2)dt = -\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^2 - 3)^2 dt = -\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^4 - 6t^2 + 9) dt$

$= -2\int_{0}^{\sqrt{3}} (t^4 - 6t^2 + 9) dt = -2[\frac{t^5}{5} - 2t^3 + 9t]_0^{\sqrt{3}} = -2[\frac{9\sqrt{3}}{5} - 6\sqrt{3} + 9\sqrt{3}] = -2[\frac{9\sqrt{3}}{5} + 3\sqrt{3}] = -2[\frac{9\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{5}] = -\frac{48\sqrt{3}}{5}$

絶対値をとって$\frac{48\sqrt{3}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 増減表は上記参照。$x=0$で極大値$11$, $x=3$では極値なし。

(2) $y = 8x + 12$

(3) $\frac{48\sqrt{3}}{5}$