次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

与えられた和を $S$ とします。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}$

この数列は、（等差数列）×（等比数列）の形になっているので、等比数列の公比である $2$ を掛けて $2S$ を計算し、$S - 2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 3) \cdot 2^{n-1} + (2n - 1) \cdot 2^n$

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 3) \cdot 2^{n-1} + (2n - 1) \cdot 2^n)$

$-S = 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + (7-5) \cdot 2^3 + \dots + ((2n-1)-(2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

括弧の中は、初項2, 公比2, 項数n-1の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2^{n+1} - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = -3 + 2 \cdot 2^n - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = -3 + 3 \cdot 2^n - 2n \cdot 2^n$

$-S = -3 + (3 - 2n) 2^n$

$S = 3 + (2n - 3) 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n - 3) 2^n + 3$