第 $n$ 項が与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の極限を求めます。 (1) $(\sqrt{5})^n$ (2) $(\frac{4}{5})^n$ (3) $(\frac{8}{3})^n$

1. 問題の内容

第 $n$ 項が与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の極限を求めます。

(1) $(\sqrt{5})^n$

(2) $(\frac{4}{5})^n$

(3) $(\frac{8}{3})^n$

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ の極限は、$r$ の値によって以下のように異なります。

- $|r| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

- $r = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

- $r > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

- $r \leq -1$ のとき、極限は存在しない（振動する）

(1) $r = \sqrt{5} \approx 2.236 > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{5})^n = \infty$

(2) $r = \frac{4}{5} = 0.8 < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{5})^n = 0$

(3) $r = \frac{8}{3} \approx 2.667 > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3})^n = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $0$

(3) $\infty$