$\sin \alpha = \frac{5}{6}$, $\cos \beta = -\frac{4}{5}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$) のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \alpha = \frac{5}{6}$, $\cos \beta = -\frac{4}{5}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$) のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ と $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ を利用して、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求めます。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ なので、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より $\sin \beta > 0$ なので、

$\sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

次に、$\cos(\alpha+\beta)$ の加法定理を利用します。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

求めた値を代入します。

$\cos(\alpha+\beta) = (\frac{\sqrt{11}}{6})(-\frac{4}{5}) - (\frac{5}{6})(\frac{3}{5}) = -\frac{4\sqrt{11}}{30} - \frac{15}{30} = -\frac{4\sqrt{11}+15}{30}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha+\beta) = -\frac{4\sqrt{11}+15}{30}$