与えられた関数 $y = \tan^{-1}(2/3 x)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(2/3 x)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(u)$ の導関数は $\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ であることを利用します。

まず、$u = \frac{2}{3}x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$ となります。

したがって、

$y = \tan^{-1}(u)$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \frac{2}{3}x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{2}{3}x)^2} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{1+\frac{4}{9}x^2} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{\frac{9+4x^2}{9}} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{9}{9+4x^2} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{3}{9+4x^2} \cdot 2$

$= \frac{6}{9+4x^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{6}{9+4x^2}$