以下の3つの関数について、マクローリン展開を4次の項（$x^4$の項）まで求めよ。 (1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$) (2) $\arctan x$ ($|x| < 1$) (3) $(1+x)^r$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、マクローリン展開を4次の項（$x^4$の項）まで求めよ。

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$)

(2) $\arctan x$ ($|x| < 1$)

(3) $(1+x)^r$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ のマクローリン展開:

まず、与えられた関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right) = \frac{1}{2a} \left( \frac{-1}{a-x} - \frac{1}{a+x} \right)$$

次に、$|x| < |a|$ の条件を使って、各項を等比級数として展開します。

$$\frac{-1}{a-x} = -\frac{1}{a} \frac{1}{1 - \frac{x}{a}} = -\frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{a}\right)^n = -\frac{1}{a} \left(1 + \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + \cdots \right)$$

$$\frac{1}{a+x} = \frac{1}{a} \frac{1}{1 + \frac{x}{a}} = \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x}{a}\right)^n = \frac{1}{a} \left(1 - \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + \cdots \right)$$

したがって、

$$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \left( -\frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{a}\right)^n - \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x}{a}\right)^n \right) = \frac{1}{2a^2} \left( - \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{a}\right)^n - \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x}{a}\right)^n \right)$$

$$= \frac{-1}{2a^2} \left( 2 + 2\frac{x^2}{a^2} + 2\frac{x^4}{a^4} + \cdots \right) = -\frac{1}{a^2} \left( 1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{a^4} + \cdots \right)$$

4次の項までをとると、

$$\frac{1}{x^2 - a^2} \approx -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$$

(2) $\arctan x$ のマクローリン展開:

$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ です。これをマクローリン展開し、項別に積分することで$\arctan x$のマクローリン展開を求めます。

$$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$$

したがって、

$$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + C$$

$\arctan 0 = 0$ なので、$C=0$。

4次の項までをとると、

$$\arctan x \approx x - \frac{x^3}{3}$$

(3) $(1+x)^r$ のマクローリン展開:

二項定理を用います。

$$(1+x)^r = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{r}{n} x^n = 1 + rx + \frac{r(r-1)}{2!} x^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^3 + \frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{4!} x^4 + \cdots$$

4次の項までをとると、

$$(1+x)^r \approx 1 + rx + \frac{r(r-1)}{2}x^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{6}x^3 + \frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{24}x^4$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2} \approx -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $\arctan x \approx x - \frac{x^3}{3}$

(3) $(1+x)^r \approx 1 + rx + \frac{r(r-1)}{2}x^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{6}x^3 + \frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{24}x^4$