与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = (4x+3)\sin^{-1}x$ (2) $y = \cos^{-1}x \tan^{-1}x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = (4x+3)\sin^{-1}x$

(2) $y = \cos^{-1}x \tan^{-1}x$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を利用します。

$u = 4x+3$ と $v = \sin^{-1}x$ とおくと、

$u' = 4$

$v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4\sin^{-1}x + (4x+3)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) 同様に積の微分公式を利用します。

$u = \cos^{-1}x$ と $v = \tan^{-1}x$ とおくと、

$u' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$v' = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\tan^{-1}x + \cos^{-1}x\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\cos^{-1}x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4\sin^{-1}x + \frac{4x+3}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\cos^{-1}x}{1+x^2}$