了解しました。画像に写っている関数の微分問題を解きます。

了解しました。画像に写っている関数の微分問題を解きます。

### 問題の内容

画像に示された関数の中から、指定された問題を解きます。今回は、問題(3)から(10)までの微分を計算します。

### 解き方の手順

(3) $y = \frac{\cos^{-1}x}{x}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ を使います。

$u = \cos^{-1}x$, $v = x$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{dv}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) - \cos^{-1}x}{x^2} = \frac{-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \cos^{-1}x}{x^2} = -\frac{x + \sqrt{1-x^2}\cos^{-1}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$

(4) $y = \frac{x+1}{\tan^{-1}x}$

商の微分公式を使います。

$u = x+1$, $v = \tan^{-1}x$

$\frac{du}{dx} = 1$, $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan^{-1}x - (x+1)\frac{1}{1+x^2}}{(\tan^{-1}x)^2} = \frac{\tan^{-1}x - \frac{x+1}{1+x^2}}{(\tan^{-1}x)^2} = \frac{(1+x^2)\tan^{-1}x - x - 1}{(1+x^2)(\tan^{-1}x)^2}$

(5) $y = \sin^{-1}(x^2-1)$

合成関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}\sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$

$u = x^2 - 1$, $\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2-1)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 - (x^4 - 2x^2 + 1)}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - x^4}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(2-x^2)}} = \frac{2x}{|x|\sqrt{2-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}} \text{ for } x>0 \text{ or } \frac{-2}{\sqrt{2-x^2}} \text{ for } x<0$

(6) $y = \tan^{-1}\sqrt{x}$

合成関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}\tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$

$u = \sqrt{x}$, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(1+x)2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(7) $y = \frac{1}{(\cos^{-1}x+4)^2} = (\cos^{-1}x+4)^{-2}$

合成関数の微分を使います。

$u = \cos^{-1}x + 4$, $\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = -2(\cos^{-1}x + 4)^{-3}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{2}{(\cos^{-1}x+4)^3\sqrt{1-x^2}}$

(8) $y = \sqrt{\tan^{-1}x - 1} = (\tan^{-1}x - 1)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分を使います。

$u = \tan^{-1}x - 1$, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\tan^{-1}x - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x - 1}}$

(9) $y = \tan^{-1}e^x$

合成関数の微分を使います。

$u = e^x$, $\frac{du}{dx} = e^x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(e^x)^2} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(10) $y = \log(\cos^{-1}x)$

合成関数の微分を使います。ここで$\log$ は自然対数とします。

$u = \cos^{-1}x$, $\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^{-1}x} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{1}{\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2}}$

### 最終的な答え

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + \sqrt{1-x^2}\cos^{-1}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x^2)\tan^{-1}x - x - 1}{(1+x^2)(\tan^{-1}x)^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}} \text{ for } x>0 \text{ or } \frac{-2}{\sqrt{2-x^2}} \text{ for } x<0$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\cos^{-1}x+4)^3\sqrt{1-x^2}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x - 1}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2}}$