与えられた無限等比級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めます。 (1) $1 + (2-x) + (2-x)^2 + \dots$ (2) $x + x(2-x) + x(2-x)^2 + \dots$

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めます。

(1) $1 + (2-x) + (2-x)^2 + \dots$

(2) $x + x(2-x) + x(2-x)^2 + \dots$

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \dots$ が収束するための条件は、$-1 < r < 1$です。ここで、$r$は公比を表します。また、$a = 0$の場合も収束します。

(1) この級数の初項は$1$、公比は$2-x$です。

したがって、収束条件は $-1 < 2-x < 1$ です。

各辺から2を引くと、 $-3 < -x < -1$ となり、各辺に-1をかけると、$1 < x < 3$ となります。

(2) この級数の初項は$x$、公比は$2-x$です。

収束条件は $-1 < 2-x < 1$ または $x=0$ です。

$-1 < 2-x < 1$ については、(1)と同様に、$1 < x < 3$ となります。

$x=0$ の場合、級数は $0 + 0 + 0 + \dots$ となり、収束します。

したがって、収束する $x$ の範囲は $1 < x < 3$ または $x=0$ です。

まとめて、$x=0$ または $1 < x < 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 3$

(2) $x = 0$ または $1 < x < 3$