与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下の通りです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下の通りです。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$　とおく。

両辺に $\frac{1}{3}$ をかける。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引く。

$S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k} - \frac{n}{3^n}$

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k}$　は初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3}{2} \times \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{9}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \times 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \times 3^n} - \frac{3n}{2 \times 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \times 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \times 3^n}$

$S = \frac{9 \times 3^n - 3(3 + 2n)}{4 \times 3^n}$

$S = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \times 3^n}$

$S = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \times 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \times 3^n}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下の通りです。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n - 2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n - 2)x^{n-1}$　とおく。

両辺に $x$ をかける。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n - 5)x^{n-1} + (3n - 2)x^n$

$S$ から $xS$ を引く。

$S - xS = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n - 2)x^n$

$(1 - x)S = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} x^k - (3n - 2)x^n$

$\sum_{k=1}^{n-1} x^k$　は初項$x$、公比$x$の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} x^k = \frac{x(1 - x^{n-1})}{1 - x}$

したがって、

$(1 - x)S = 1 + 3 \times \frac{x(1 - x^{n-1})}{1 - x} - (3n - 2)x^n$

$(1 - x)S = 1 + \frac{3x(1 - x^{n-1})}{1 - x} - (3n - 2)x^n$

$(1 - x)^2 S = (1 - x) + 3x(1 - x^{n-1}) - (3n - 2)x^n(1 - x)$

$(1 - x)^2 S = 1 - x + 3x - 3x^n - (3n - 2)x^n + (3n - 2)x^{n+1}$

$(1 - x)^2 S = 1 + 2x - 3x^n - (3n - 2)x^n + (3n - 2)x^{n+1}$

$(1 - x)^2 S = 1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n - 2)x^{n+1}$

$S = \frac{1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n - 2)x^{n+1}}{(1 - x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n - 2)x^{n+1}}{(1 - x)^2}$