与えられた和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。つまり、$\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3})(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3})} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3}}{(k+2)-(k+3)} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3}-\sqrt{k+2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2})$

これは、望遠鏡和（telescoping sum）と呼ばれる形なので、書き下してみます。

$(\sqrt{4}-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}-\sqrt{4}) + (\sqrt{6}-\sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})$

多くの項が打ち消し合うので、結局、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$