与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{5})$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{5})$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 逆三角関数 $\cos^{-1}(u)$ の微分公式を思い出します。

$\frac{d}{du} \cos^{-1}(u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

(2) 合成関数の微分（連鎖律）を適用します。ここでは $u = \frac{x}{5}$ とおきます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \cos^{-1}(\frac{x}{5}) = \frac{d}{du} \cos^{-1}(u) \cdot \frac{du}{dx}$

(3) $\frac{du}{dx}$ を計算します。 $u = \frac{x}{5}$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{5}) = \frac{1}{5}$

(4) 上記の公式と結果を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{5})^2}} \cdot \frac{1}{5}$

(5) 式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}} = -\frac{1}{5\sqrt{\frac{25-x^2}{25}}} = -\frac{1}{5 \cdot \frac{\sqrt{25-x^2}}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$