次の極限を求めます。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+x} \right) $$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+x} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+x} = \frac{(a+x) - a}{a(a+x)} = \frac{x}{a(a+x)}$$

したがって、問題の式は

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{x}{a(a+x)} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{a(a+x)}$$

$x \to 0$ のとき、$a+x \to a$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{a(a+x)} = \frac{1}{a(a+0)} = \frac{1}{a^2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{a^2}$$