与えられた関数 $y = \sin^{-1}(4x)$ の微分 $y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin^{-1}(4x)$ の微分 $y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

逆正弦関数の微分公式を用いる。

逆正弦関数の微分は以下の通りである。

$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$

この問題の場合、$u = 4x$ である。したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x) = 4$

よって、$y'$ は以下のようになる。

$y' = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(4x)) = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4$

$y' = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$