曲線 $y = f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x + 5$ 上の異なる2点 $(α, f(α))$ と $(β, f(β))$ ($α < β$) において、直線 $y = g(x) = ax + b$ がこの曲線に接するとき、$α$, $β$, $a$, $b$ の値を求め、さらに曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x + 5$ 上の異なる2点 $(α, f(α))$ と $(β, f(β))$ ($α < β$) において、直線 $y = g(x) = ax + b$ がこの曲線に接するとき、$α$, $β$, $a$, $b$ の値を求め、さらに曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = f(x) - g(x)$ とおくと、$h(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x + 5 - (ax + b) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + (5-a)x + (5-b)$ となります。直線 $y = g(x)$ が曲線 $y = f(x)$ に2点で接するので、$h(x) = (x - α)^2 (x - β)^2$ と表せるはずです。

ここで、$(x - α)^2 (x - β)^2 = (x^2 - 2αx + α^2)(x^2 - 2βx + β^2) = x^4 - 2(α+β)x^3 + (α^2 + 4αβ + β^2)x^2 - 2αβ(α+β)x + α^2β^2$ となります。

係数を比較すると、

$x^3$の係数：$-2(α+β) = -2$ より $α + β = 1$

$x^2$の係数：$α^2 + 4αβ + β^2 = -3$

$x$の係数：$-2αβ(α+β) = 5-a$

定数項：$α^2β^2 = 5-b$

$α + β = 1$ より、$β = 1 - α$。これを $α^2 + 4αβ + β^2 = -3$ に代入すると、

$α^2 + 4α(1 - α) + (1 - α)^2 = -3$

$α^2 + 4α - 4α^2 + 1 - 2α + α^2 = -3$

$-2α^2 + 2α + 1 = -3$

$2α^2 - 2α - 4 = 0$

$α^2 - α - 2 = 0$

$(α - 2)(α + 1) = 0$

$α = 2, -1$

$α < β$ なので、$α = -1$, $β = 1 - α = 1 - (-1) = 2$

次に、$a$ を求めます。

$-2αβ(α+β) = 5-a$ に $α = -1$, $β = 2$, $α+β = 1$ を代入すると、

$-2(-1)(2)(1) = 5 - a$

$4 = 5 - a$

$a = 1$

最後に、$b$ を求めます。

$α^2β^2 = 5-b$ に $α = -1$, $β = 2$ を代入すると、

$(-1)^2(2)^2 = 5 - b$

$4 = 5 - b$

$b = 1$

したがって、$f(x) - g(x) = (x - α)^2 (x - β)^2 = (x + 1)^2 (x - 2)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 0x + 4$

$S = \int_{α}^{β} |f(x) - g(x)| dx = \int_{-1}^{2} (x - α)^2 (x - β)^2 dx = \int_{-1}^{2} (x+1)^2(x-2)^2 dx$

$= \int_{-1}^2 (x^2 - x - 2)^2 dx = \int_{-1}^2 (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) dx$

$= [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 + 4x]_{-1}^{2} = (\frac{32}{5} - 8 - 8 + 8 + 8) - (-\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 + 2 - 4) = \frac{33}{5} + \frac{5}{2} = \frac{66 + 25}{10} = \frac{81}{10}$

3. 最終的な答え

$α = -1$, $β = 2$, $a = 1$, $b = 1$, $S = \frac{81}{10}$