関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ に関して、以下の問いに答える問題です。 (1) 曲線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わるときの、$a, b$ の満たす条件を求めます。 (2) $b < 0$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積の和を $a, b$ を用いて表します。 (3) $b > 0$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるための $a, b$ の条件を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ に関して、以下の問いに答える問題です。

(1) 曲線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わるときの、$a, b$ の満たす条件を求めます。

(2) $b < 0$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積の和を $a, b$ を用いて表します。

(3) $b > 0$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるための $a, b$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx = x(x^2 + ax + b)$

$y = f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わるためには、$x^2 + ax + b = 0$ が $x = 0$ 以外の2つの異なる実数解を持つ必要があります。

判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4b > 0$ かつ $b \neq 0$ である必要があります。

よって、$a^2 > 4b$ かつ $b \neq 0$ が条件となります。

(2)

$b < 0$ なので、$a^2 > 4b$ は常に満たされます。$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = -a, \alpha\beta = b$

$f(x) = x(x - \alpha)(x - \beta)$ となるので、囲まれた2つの図形の面積の和 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{0} (x^3 + ax^2 + bx) dx - \int_{0}^{\beta} (x^3 + ax^2 + bx) dx$

$S = [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_{\alpha}^{0} - [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_{0}^{\beta}$

$S = -(\frac{\alpha^4}{4} + \frac{a\alpha^3}{3} + \frac{b\alpha^2}{2}) - (\frac{\beta^4}{4} + \frac{a\beta^3}{3} + \frac{b\beta^2}{2})$

$S = -(\frac{\alpha^4 + \beta^4}{4}) - (\frac{a(\alpha^3 + \beta^3)}{3}) - (\frac{b(\alpha^2 + \beta^2)}{2})$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2 - 2b$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = -a^3 + 3ab$

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$

$S = -\frac{1}{4}(a^4 - 4a^2b + 2b^2) - \frac{1}{3}a(-a^3 + 3ab) - \frac{1}{2}b(a^2 - 2b)$

$S = -\frac{1}{4}a^4 + a^2b - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{3}a^4 - a^2b - \frac{1}{2}a^2b + b^2$

$S = \frac{1}{12}(-3a^4 + 4a^4) - \frac{1}{2}a^2b+ \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{12}a^4 - \frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{2}b^2$

ここで、$\alpha$, $\beta$は$x^2 + ax + b = 0$ の解なので、$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$。よって$\alpha = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$, $\beta = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$。

したがって、

$S = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6} = \frac{( \sqrt{a^2 - 4b})^3 }{6} = \frac{(a^2 - 4b)^{3/2}}{6}$

(3)

$b > 0$ のとき、$y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるためには、

$\int_{0}^{\beta} f(x) dx = 0$ が必要十分条件となります。

$\int_{0}^{\beta} (x^3 + ax^2 + bx) dx = 0$

$[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_{0}^{\beta} = 0$

$\frac{\beta^4}{4} + \frac{a\beta^3}{3} + \frac{b\beta^2}{2} = 0$

$\beta^2(\frac{\beta^2}{4} + \frac{a\beta}{3} + \frac{b}{2}) = 0$

$\beta \neq 0$ より、$\frac{\beta^2}{4} + \frac{a\beta}{3} + \frac{b}{2} = 0$

$\alpha + \beta = -a, \alpha\beta = b$ なので、$x = \beta$ は $x^2 + ax + b = 0$ の解。

したがって、$\beta^2 + a\beta + b = 0$

$\beta^2 = -a\beta - b$

$\frac{1}{4}(-a\beta - b) + \frac{a\beta}{3} + \frac{b}{2} = 0$

$-\frac{a\beta}{4} - \frac{b}{4} + \frac{a\beta}{3} + \frac{b}{2} = 0$

$\frac{a\beta}{12} + \frac{b}{4} = 0$

$a\beta + 3b = 0$

$\beta = -\frac{3b}{a}$

$\beta$ は $x^2 + ax + b = 0$ の解なので、代入すると、

$(\frac{-3b}{a})^2 + a(\frac{-3b}{a}) + b = 0$

$\frac{9b^2}{a^2} - 3b + b = 0$

$\frac{9b^2}{a^2} - 2b = 0$

$b \neq 0$ より、$\frac{9b}{a^2} = 2$

$2a^2 = 9b$

$a^2 = \frac{9}{2}b$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 > 4b$ かつ $b \neq 0$

(2) $\frac{(a^2 - 4b)^{3/2}}{6}$

(3) $a^2 = \frac{9}{2}b$