曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $P(p, q)$ が与えられている（ただし、$p > 0$）。 (1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式を $t$ を用いて表す。 (2) 点 $P$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あるための $p, q$ の満たす条件を求める。 (3) $p, q$ が (2) の条件に加えて $q < -2$ を満たすとき、点 $P$ を通る $C$ の2つの接線と $C$ で囲まれた図形の面積を $p$ を用いて表す。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $P(p, q)$ が与えられている（ただし、$p > 0$）。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式を $t$ を用いて表す。

(2) 点 $P$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あるための $p, q$ の満たす条件を求める。

(3) $p, q$ が (2) の条件に加えて $q < -2$ を満たすとき、点 $P$ を通る $C$ の2つの接線と $C$ で囲まれた図形の面積を $p$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x$ を微分すると $y' = 3x^2 - 3$ となる。したがって、点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 点 $P(p, q)$ を通るので、

$q = (3t^2 - 3)p - 2t^3$

$2t^3 - 3pt^2 + 3p + q = 0$

この $t$ の3次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考える。

$f(t) = 2t^3 - 3pt^2 + 3p + q$ とおく。

$f'(t) = 6t^2 - 6pt = 6t(t - p)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, p$ 。$p > 0$ であるので、増減表を書くと、

$t$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $p$ | $\cdots$

-------|-------|-------|-------|-------|-------

$f'(t)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$

-------|-------|-------|-------|-------|-------

$f(t)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

$f(0) = 3p + q$, $f(p) = 2p^3 - 3p^3 + 3p + q = -p^3 + 3p + q$

$f(0) = 0$ または $f(p) = 0$ のとき、$t$ の3次方程式は2つの解を持つ。

$f(0)f(p) = (3p + q)(-p^3 + 3p + q) = 0$

よって、 $q = -3p$ または $q = p^3 - 3p$

(3) $q < -2$ を満たすとき、$q = p^3 - 3p$ の場合を考える。

2つの接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると、接線の方程式は

$y = (3\alpha^2 - 3)x - 2\alpha^3$

$y = (3\beta^2 - 3)x - 2\beta^3$

これが点 $P(p, q)$ を通るので、

$q = (3\alpha^2 - 3)p - 2\alpha^3$

$q = (3\beta^2 - 3)p - 2\beta^3$

$f(t) = 2t^3 - 3pt^2 + 3p + q = 2(t - \alpha)^2(t - \beta)$

面積 $S = \int_\alpha^\beta (x^3 - 3x) - (3\alpha^2 - 3)x + 2\alpha^3 dx$

$q < -2$のとき、$q = -3p$の場合を考える。

$2t^3 - 3pt^2 = 0$

$t^2(2t - 3p) = 0$

$t = 0, 3p/2$

$S = \int_0^{3p/2} (x^3 - 3x) - (-3x) dx = \int_0^{3p/2} x^3 dx = [x^4/4]_0^{3p/2} = (81/16) p^4/4 = 81p^4/64$

$f(0) = 0$の時、$S = (3/4)(3p/2)^4 = (243/64)p^4$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $q = -3p$ または $q = p^3 - 3p$

(3) $\frac{27}{4} p^4$