与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の2つの極限を計算します。 (3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 2}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の2つの極限を計算します。

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 2}$

2. 解き方の手順

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$ の場合：

まず、$\sqrt{n^2 + n} - n$ を有理化します。

$\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$

次に、分母と分子を $n$ で割ります。

$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 2}$ の場合：

分母と分子を $n^2$ で割ります。

$\frac{n}{n^2 + 2} = \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ かつ $\frac{2}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

3. 最終的な答え

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n) = \frac{1}{2}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 2} = 0$