$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^2+2}{n^2}}}$

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1. 問題の内容

問題は、以下の極限を求めることです。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+2}}$

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2. 解き方の手順

1. 分母と分子を $n$ で割ります。これにより、式は以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^2+2}{n^2}}}$

2. 根号の中を簡略化します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}$

3. $n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n^2} \to 0$ となります。

4. よって、極限は以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

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3. 最終的な答え

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