次の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ の場合、分子と分母を $5^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - (2/5)^n}{1 + (2/5)^n}$

$n \to \infty$ のとき $(2/5)^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - (2/5)^n}{1 + (2/5)^n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$ の場合、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4^n}{3^n} - \frac{2^n}{3^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( (\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n \right)$

$n \to \infty$ のとき $(4/3)^n \to \infty$ であり、 $(2/3)^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left( (\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n \right) = \infty - 0 = \infty$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$ の場合、分子と分母を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/3)^n}{1 - (2/3)^n}$

$n \to \infty$ のとき $(2/3)^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/3)^n}{1 - (2/3)^n} = \frac{2 \cdot 0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\infty$

(3) 0