$0 < a < b$ として、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が次のように定義されています。 $a_1 = a$, $b_1 = b$ $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$ $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ このとき、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が同じ値に収束することを示し、その値を $a$, $b$ の算術幾何平均と呼びます。

## 問題8

1. 問題の内容

$0 < a < b$ として、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が次のように定義されています。

$a_1 = a$, $b_1 = b$

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$

このとき、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が同じ値に収束することを示し、その値を $a$, $b$ の算術幾何平均と呼びます。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法により、$a_n < b_n$を証明する。

$n = 1$のとき、$a_1 = a < b = b_1$なので成立。

$n = k$のとき、$a_k < b_k$が成立すると仮定する。

$n = k+1$のとき、

$a_{k+1} = \sqrt{a_k b_k} < \frac{a_k + b_k}{2} = b_{k+1}$

ここで、$a_k < b_k$より$\sqrt{a_k b_k} < \frac{a_k + b_k}{2}$が成立する(相加相乗平均の関係)ので、$a_{k+1} < b_{k+1}$が成立する。

よって、数学的帰納法により、$a_n < b_n$が示された。

(2) 数列$\{a_n\}$が単調増加であることを証明する。

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n b_n} - a_n = \sqrt{a_n} (\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})$

ここで、$a_n < b_n$より$\sqrt{a_n} < \sqrt{b_n}$なので、$a_{n+1} - a_n > 0$が成立する。

よって、$a_{n+1} > a_n$であるから数列$\{a_n\}$は単調増加数列である。

(3) 数列$\{b_n\}$が単調減少であることを証明する。

$b_{n+1} - b_n = \frac{a_n + b_n}{2} - b_n = \frac{a_n - b_n}{2}$

ここで、$a_n < b_n$より$a_n - b_n < 0$なので、$b_{n+1} - b_n < 0$が成立する。

よって、$b_{n+1} < b_n$であるから数列$\{b_n\}$は単調減少数列である。

(4) 数列$\{a_n\}$は上に有界であり、数列$\{b_n\}$は下に有界であることを証明する。

数列$\{a_n\}$は単調増加であり、$a_n < b_n \leq b$であるから、数列$\{a_n\}$は上に有界である。

数列$\{b_n\}$は単調減少であり、$b_n > a_n \geq a$であるから、数列$\{b_n\}$は下に有界である。

(5) 数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$は収束し、その極限値が一致することを証明する。

数列$\{a_n\}$は上に有界な単調増加数列であるから、収束する。その極限値を$α$とする。

数列$\{b_n\}$は下に有界な単調減少数列であるから、収束する。その極限値を$β$とする。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$より、$α = \sqrt{α β}$が成立する。

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$より、$β = \frac{α + β}{2}$が成立する。

$α = \sqrt{α β}$より、$α^2 = α β$。$α \neq 0$より、$α = β$

したがって、数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$は同じ値に収束する。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$は同じ値に収束する。