数列 $\cos(\pi)$, $\cos(3\pi)$, $\cos(5\pi)$, $\dots$, $\cos((2n-1)\pi)$, $\dots$ の極限値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\cos(\pi)$, $\cos(3\pi)$, $\cos(5\pi)$, $\dots$, $\cos((2n-1)\pi)$, $\dots$ の極限値を求める。

2. 解き方の手順

一般項 $\cos((2n-1)\pi)$ の値を調べる。

$n=1$ のとき、$\cos((2\cdot 1 - 1)\pi) = \cos(\pi) = -1$

$n=2$ のとき、$\cos((2\cdot 2 - 1)\pi) = \cos(3\pi) = -1$

$n=3$ のとき、$\cos((2\cdot 3 - 1)\pi) = \cos(5\pi) = -1$

一般に、$2n-1$ は奇数なので、$(2n-1)\pi$ は奇数倍の $\pi$ である。したがって、$\cos((2n-1)\pi)$ は常に $-1$ である。

$\cos((2n-1)\pi) = -1$

よって、数列 $\cos(\pi)$, $\cos(3\pi)$, $\cos(5\pi)$, $\dots$, $\cos((2n-1)\pi)$, $\dots$ は、$-1, -1, -1, \dots$ という数列である。

数列のすべての項が $-1$ であるため、この数列の極限値は $-1$ である。

3. 最終的な答え

-1