$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} - n)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} - n)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず式を有利化します。つまり、$\sqrt{n^2 - n} + n$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 - n} - n)(\sqrt{n^2 - n} + n)}{\sqrt{n^2 - n} + n}$

分子を展開すると：

$(\sqrt{n^2 - n} - n)(\sqrt{n^2 - n} + n) = (n^2 - n) - n^2 = -n$

したがって、式は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2 - n} + n}$

次に、分子と分母を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$