数列 $\{a_n\}$ が $|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k |a_{n+1} - a_n|$ (ただし $0 < k < 1$, $n = 1, 2, \dots$) を満たすとき、$\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k |a_{n+1} - a_n|$ (ただし $0 < k < 1$, $n = 1, 2, \dots$) を満たすとき、$\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$|a_{n+1} - a_n|$ を評価する。与えられた不等式を繰り返し適用すると、

$|a_{n+1} - a_n| \le k |a_n - a_{n-1}| \le k^2 |a_{n-1} - a_{n-2}| \le \dots \le k^{n-1} |a_2 - a_1|$

が成り立つ。

次に、$m > n$ に対して $|a_m - a_n|$ を評価する。三角不等式より

$|a_m - a_n| = |(a_m - a_{m-1}) + (a_{m-1} - a_{m-2}) + \dots + (a_{n+1} - a_n)| \le |a_m - a_{m-1}| + |a_{m-1} - a_{m-2}| + \dots + |a_{n+1} - a_n|$

上の評価を用いると、

$|a_m - a_n| \le k^{m-2}|a_2 - a_1| + k^{m-3}|a_2 - a_1| + \dots + k^{n-1}|a_2 - a_1| = |a_2 - a_1| (k^{n-1} + k^n + \dots + k^{m-2}) = |a_2 - a_1| k^{n-1} (1 + k + \dots + k^{m-n-1})$

等比数列の和の公式より、

$1 + k + \dots + k^{m-n-1} = \frac{1 - k^{m-n}}{1 - k} < \frac{1}{1 - k}$

したがって、

$|a_m - a_n| \le |a_2 - a_1| \frac{k^{n-1}}{1 - k}$

$0 < k < 1$ より、$n \to \infty$ のとき $k^{n-1} \to 0$ であるから、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|a_2 - a_1| \frac{k^{n-1}}{1 - k} < \epsilon$ となる。

よって、$m > n > N$ ならば $|a_m - a_n| < \epsilon$ となるので、数列 $\{a_n\}$ はコーシー列である。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ はコーシー列である。