$0 < a < b$ とする。数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が以下のように定義される。 $a_1 = a, b_1 = b$ $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ このとき、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が同じ値に収束することを示せ。

はい、承知いたしました。画像にある2つの問題のうち、8番の問題を解きます。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ とする。数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が以下のように定義される。

$a_1 = a, b_1 = b$

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$

このとき、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が同じ値に収束することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法により、すべての $n$ に対して $a_n < b_n$ が成り立つことを示す。

$n=1$ のとき、$a_1 = a < b = b_1$ より成り立つ。

$n=k$ のとき、$a_k < b_k$ が成り立つと仮定する。このとき、

$a_{k+1} = \sqrt{a_k b_k} < \frac{a_k + b_k}{2} = b_{k+1}$ （相加相乗平均の不等式より）

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

よって、すべての $n$ に対して $a_n < b_n$ が成り立つ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを示す。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$ より、$a_{n+1}^2 = a_n b_n$

$b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$ より、$a_n = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}$

$a_{n+1}^2 - a_n^2 = a_n b_n - a_{n-1} b_{n-1} = a_n \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} - a_{n-1} b_{n-1}$

$a_{n+1}^2 - a_n^2 = \frac{a_n a_{n-1} + a_n b_{n-1} - 2a_{n-1} b_{n-1}}{2} = \frac{a_n a_{n-1} - 2a_{n-1} b_{n-1} + a_n b_{n-1}}{2}$

しかし、より簡単に示す方法があります。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} > \sqrt{a_n a_n} = a_n$

したがって、数列 $\{a_n\}$ は単調増加である。

(3) 数列 $\{b_n\}$ が単調減少であることを示す。

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} < \frac{b_n + b_n}{2} = b_n$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は単調減少である。

(4) 数列 $\{a_n\}$ は上に有界、数列 $\{b_n\}$ は下に有界であることを示す。

数列 $\{a_n\}$ は単調増加であり、$a_n < b_1 = b$ より上に有界である。

数列 $\{b_n\}$ は単調減少であり、$a_1 = a < b_n$ より下に有界である。

(5) 単調増加で上に有界な数列、および単調減少で下に有界な数列は収束するので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \beta$

とおける。

(6) $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ において $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = \sqrt{\alpha \beta}, \quad \beta = \frac{\alpha + \beta}{2}$

$\alpha^2 = \alpha \beta$ より、$\alpha(\alpha - \beta) = 0$

$\beta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ より、$2\beta = \alpha + \beta$ となり、$\alpha = \beta$.

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$.

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は同じ値に収束する。