与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$ (ただし、$a > 0$) (2) $y = (\tan^{-1} 2x)^3$ (3) $y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$ (ただし、$a > 0$)

(2) $y = (\tan^{-1} 2x)^3$

(3) $y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{x}{a})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{|a|}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a}$

$a > 0$ なので $|a| = a$ であるから

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(2) $y = (\tan^{-1} 2x)^3$ の微分

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan^{-1} 2x)^2 \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} 2x)$

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan^{-1} 2x)^2 \cdot \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (2x)$

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan^{-1} 2x)^2 \cdot \frac{1}{1 + 4x^2} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6 (\tan^{-1} 2x)^2}{1 + 4x^2}$

(3) $y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$ の微分

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{1}{x})$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(2) $\frac{6 (\tan^{-1} 2x)^2}{1 + 4x^2}$

(3) $\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$