$\sin 2\theta = \cos 3\theta$のとき、$\sin \theta$の値を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \pi$とします。

1. 問題の内容

$\sin 2\theta = \cos 3\theta$のとき、$\sin \theta$の値を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \pi$とします。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の公式を使って、$\cos 3\theta$ を $\sin$ で表します。

$\cos 3\theta = \cos (2\theta + \theta) = \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta$

さらに、$2倍角の公式を用いて、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$、$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$を代入します。

$\cos 3\theta = (1 - 2\sin^2 \theta) \cos \theta - 2\sin \theta \cos \theta \sin \theta = \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos \theta = \cos \theta - 4\sin^2 \theta \cos \theta = \cos \theta (1 - 4\sin^2 \theta)$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$であることから、与えられた式$\sin 2\theta = \cos 3\theta$は次のようになります。

$2\sin \theta \cos \theta = \cos \theta (1 - 4\sin^2 \theta)$

$\cos \theta$で両辺を割ることを考えますが、$\cos \theta = 0$の可能性があるので、場合分けをします。

(i) $\cos \theta = 0$ のとき

$\theta = \frac{\pi}{2}$なので、$\sin \theta = 1$ となります。このとき、$\sin 2\theta = \sin \pi = 0$で、$\cos 3\theta = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$となるので、$\sin 2\theta = \cos 3\theta$を満たします。

(ii) $\cos \theta \neq 0$ のとき

$2\sin \theta = 1 - 4\sin^2 \theta$

$4\sin^2 \theta + 2\sin \theta - 1 = 0$

$\sin \theta = x$ とおくと、$4x^2 + 2x - 1 = 0$

この2次方程式を解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$0 < \theta < \pi$であるから、$\sin \theta > 0$であるため、$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$となります。

よって、$\sin \theta = 1$または$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

しかし、$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$のとき、$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16}} = \pm \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}} = \pm \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$となるので、$\cos \theta \neq 0$を満たしています。

まとめると、$\sin \theta = 1$または$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$です。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = 1$, $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$