$0 < \theta < \pi$ のとき、$\sin 2\theta = \cos 3\theta$ を満たす $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ のとき、$\sin 2\theta = \cos 3\theta$ を満たす $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の公式を使って式を変形します。

$\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ の関係を利用すると、$\cos 3\theta = \sin(\frac{\pi}{2} - 3\theta)$ となります。

したがって、与えられた方程式は

$\sin 2\theta = \sin(\frac{\pi}{2} - 3\theta)$

となります。

$\sin A = \sin B$ を満たす条件は、

$A = B + 2n\pi$ または $A = \pi - B + 2n\pi$（$n$ は整数）

です。

(1) $2\theta = \frac{\pi}{2} - 3\theta + 2n\pi$ の場合：

$5\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5}$

$0 < \theta < \pi$ より、$0 < \frac{\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5} < \pi$。

$0 < \frac{1}{10} + \frac{2n}{5} < 1$

$0 < 1 + 4n < 10$

$-1 < 4n < 9$

$-\frac{1}{4} < n < \frac{9}{4}$

$n$ は整数なので、$n = 0, 1, 2$。

$\theta = \frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10}$

$\sin \theta = \sin(\frac{\pi}{10}), \sin(\frac{\pi}{2}) = 1, \sin(\frac{9\pi}{10}) = \sin(\frac{\pi}{10})$

(2) $2\theta = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3\theta) + 2n\pi$ の場合：

$2\theta = \frac{\pi}{2} + 3\theta + 2n\pi$

$-\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$\theta = -\frac{\pi}{2} - 2n\pi$

$0 < \theta < \pi$ より、$0 < -\frac{\pi}{2} - 2n\pi < \pi$

$0 < -\frac{1}{2} - 2n < 1$

$\frac{1}{2} < -2n < \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{4} < n < -\frac{1}{4}$

$n$ は整数なので、該当する $n$ は存在しません。

$\sin(\frac{\pi}{10}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = 1, \frac{\sqrt{5}-1}{4}$