問題は、逆三角関数に関する等式 $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ を証明することです。

1. 問題の内容

問題は、逆三角関数に関する等式 $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ を証明することです。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^{-1}(-x) = \theta$ とおきます。

このとき、$\cos(\theta) = -x$ となります。

$\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$ が成り立つことを利用すると、

$\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta) = -(-x) = x$

となります。

したがって、$\pi - \theta = \cos^{-1}(x)$ です。

$\theta = \cos^{-1}(-x)$ であったので、

$\pi - \cos^{-1}(-x) = \cos^{-1}(x)$

となります。

これを整理すると、

$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$

となります。

ここで、$\cos^{-1}$ の値域が $[0, \pi]$ であることを考慮する必要があります。$x \in [-1, 1]$ であれば、$\cos^{-1}(x)$ と $\cos^{-1}(-x)$ は定義できます。また、上記の変形は $\theta$ と $\pi - \theta$ が $[0, \pi]$ に含まれている限り有効です。$0 \le \cos^{-1}(-x) \le \pi$ であり、$0 \le \cos^{-1}(x) \le \pi$ なので、$\pi - \cos^{-1}(-x) = \cos^{-1}(x)$ から $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$