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逆三角関数に関する等式を証明する問題です。今回は、 $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ を証明します。

解析学逆三角関数等式証明cos
2025/5/21

1. 問題の内容

逆三角関数に関する等式を証明する問題です。今回は、
cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x
を証明します。

2. 解き方の手順

cos⁡−1(−x)=θ\cos^{-1}(-x) = \theta とおきます。このとき、
cos⁡θ=−x\cos \theta = -x
となります。
また、cos⁡−1\cos^{-1} の値域は [0,π][0, \pi] であるので、 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi です。
ここで、
x=−cos⁡θ=cos⁡(π−θ)x = -\cos \theta = \cos (\pi - \theta)
となります。
π−θ\pi - \theta の範囲は 0≤π−θ≤π0 \le \pi - \theta \le \pi であるので、
cos⁡−1x=π−θ\cos^{-1} x = \pi - \theta
と表せます。
θ=cos⁡−1(−x)\theta = \cos^{-1}(-x) であったので、
cos⁡−1x=π−cos⁡−1(−x)\cos^{-1} x = \pi - \cos^{-1}(-x)
したがって、
cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
が証明されました。

3. 最終的な答え

cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x

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