与えられた式は $\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$ である。この等式が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた式は $\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$ である。この等式が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^{-1} x$ を $\theta$ とおくと、 $x = \tan \theta$ となる。

このとき、$\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$ である。

$\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ について考える。

$x = \tan \theta$ を代入すると、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ となる。

ここで、$1+\tan^2 \theta = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ であるから、$\sqrt{1+\tan^2 \theta} = \frac{1}{|\cos \theta|}$ となる。

したがって、$\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\frac{1}{|\cos \theta|}} = \tan \theta \cdot |\cos \theta| = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} |\cos \theta| = \sin \theta \cdot \frac{|\cos \theta|}{\cos \theta}$ となる。

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\cos \theta > 0$ であるから、$\frac{|\cos \theta|}{\cos \theta} = 1$ となる。

よって、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sin \theta$ となる。

したがって、$\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \cos^{-1} (\sin \theta)$ となる。

ここで、$\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$ であるから、$\cos^{-1} (\sin \theta) = \cos^{-1} (\cos (\frac{\pi}{2} - \theta)) = \frac{\pi}{2} - \theta$ となる。

$\theta = \tan^{-1} x$ であったので、$\frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$ となる。

したがって、$\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\cos^{-1} (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$ が成り立つ。