以下の3つの関数を微分します。 (1) $y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$, ($a>0$) (2) $y = (\tan^{-1} (2x))^3$ (3) $y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$

はい、承知いたしました。与えられた関数を微分します。

1. 問題の内容

以下の3つの関数を微分します。

(1) $y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$, ($a>0$)

(2) $y = (\tan^{-1} (2x))^3$

(3) $y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sin^{-1} (\frac{x}{a})$ を微分します。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。

合成関数の微分を適用すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{x}{a})$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$= \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{|a|}} \cdot \frac{1}{a}$

$a>0$ より $|a| = a$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(2)

$y = (\tan^{-1} (2x))^3$ を微分します。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2}$ を用います。

合成関数の微分を適用すると、

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan^{-1} (2x))^2 \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} (2x))$

$= 3(\tan^{-1} (2x))^2 \cdot \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (2x)$

$= 3(\tan^{-1} (2x))^2 \cdot \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2$

$= \frac{6(\tan^{-1} (2x))^2}{1+4x^2}$

(3)

$y = \cos^{-1} (\frac{1}{x})$ を微分します。

$\frac{d}{dx} \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。

合成関数の微分を適用すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{1}{x})$

$= -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}$

$= \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}$

$= \frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}$

$= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{6(\tan^{-1} (2x))^2}{1+4x^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$