以下の数学の問題を解きます。

以下の数学の問題を解きます。

1. $y=(x^2-3x+9)^3$

2. $y=(\sqrt{x}+3x+3)^4$

3. $y=\sqrt[4]{(x^2+5x+7)^3}$

4. $y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+1}}$

5. $y=(\frac{3x+1}{4x+3})^3$

6. $y=(\frac{3x}{x^2+1})^2$

それぞれの問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使います。つまり、$y=f(g(x))$のとき、$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$となります。

3. 最終的な答え

**

1. $y=(x^2-3x+9)^3$**

1. 問題の内容

$y=(x^2-3x+9)^3$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$u = x^2-3x+9$ とおくと、$y = u^3$ である。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 2x-3$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (2x-3) = 3(x^2-3x+9)^2 (2x-3)$

3. 最終的な答え

$y' = 3(x^2-3x+9)^2 (2x-3)$

**

2. $y=(\sqrt{x}+3x+3)^4$**

1. 問題の内容

$y=(\sqrt{x}+3x+3)^4$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$u = \sqrt{x}+3x+3 = x^{\frac{1}{2}} + 3x + 3$ とおくと、$y = u^4$ である。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3) = 4(\sqrt{x}+3x+3)^3 (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3)$

3. 最終的な答え

$y' = 4(\sqrt{x}+3x+3)^3 (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3)$

**

3. $y=\sqrt[4]{(x^2+5x+7)^3}$**

1. 問題の内容

$y=\sqrt[4]{(x^2+5x+7)^3}$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$y = (x^2+5x+7)^{\frac{3}{4}}$ である。

$u = x^2+5x+7$ とおくと、$y = u^{\frac{3}{4}}$ である。

$\frac{dy}{du} = \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}}$

$\frac{du}{dx} = 2x+5$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}} \cdot (2x+5) = \frac{3}{4}(x^2+5x+7)^{-\frac{1}{4}} (2x+5)$

$y' = \frac{3(2x+5)}{4\sqrt[4]{x^2+5x+7}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3(2x+5)}{4\sqrt[4]{x^2+5x+7}}$

**

4. $y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+1}}$**

1. 問題の内容

$y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+1}}$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$y = (x^2+1)^{-\frac{1}{4}}$ である。

$u = x^2+1$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{4}}$ である。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{4}u^{-\frac{5}{4}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{4}u^{-\frac{5}{4}} \cdot 2x = -\frac{1}{4}(x^2+1)^{-\frac{5}{4}} (2x)$

$y' = -\frac{x}{2(x^2+1)^{\frac{5}{4}}}$

$y' = -\frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2+1)^5}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{x}{2(x^2+1)^{\frac{5}{4}}}$

**

5. $y=(\frac{3x+1}{4x+3})^3$**

1. 問題の内容

$y=(\frac{3x+1}{4x+3})^3$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$u = \frac{3x+1}{4x+3}$ とおくと、$y = u^3$ である。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{3(4x+3) - 4(3x+1)}{(4x+3)^2} = \frac{12x+9 - 12x-4}{(4x+3)^2} = \frac{5}{(4x+3)^2}$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{5}{(4x+3)^2} = 3(\frac{3x+1}{4x+3})^2 \frac{5}{(4x+3)^2}$

$y' = \frac{15(3x+1)^2}{(4x+3)^4}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{15(3x+1)^2}{(4x+3)^4}$

**

6. $y=(\frac{3x}{x^2+1})^2$**

1. 問題の内容

$y=(\frac{3x}{x^2+1})^2$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

$u = \frac{3x}{x^2+1}$ とおくと、$y = u^2$ である。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2} = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

よって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2} = 2(\frac{3x}{x^2+1}) \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{18x(1-x^2)}{(x^2+1)^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{18x(1-x^2)}{(x^2+1)^3}$